“Khoảng cách Riemann”

Đặng Công Hanh

Hầu hết các nhà hoạt động trong lĩnh vực Toán học (giảng dạy và nghiên cứu) đều có cảm nhận chung: Toán học là sản phẩm thuần túy của trí tuệ con người, hay Toán học tạo ra cái khung vô hình của hiện thực?

Sự kiện tỏ ra bí hiểm tại sao các thực thể trừu tượng vốn không có tác dụng đến cuộc sống hằng ngày và được phác thảo từ các bộ óc của các nhà Toán học lại tỏ ra rất phù hợp với thế giới tự nhiên? Còn biết bao câu hỏi tương tự như thế được đặt ra và có nhiều cách giải đáp câu hỏi nêu trên theo các phương vị khác nhau.

Quan niệm của Đạo Phật về thế giới hiện tượng chỉ ra rằng: Ý thức xây dựng nên Toán học không nằm ngoài tự nhiên, cách thức ta cảm nhận thế giới gắn bó chặt chẽ với hoạt động tinh thần của chúng ta. Vì vậy sự tương hợp giữa thế giới hiện thực và thế giới trừu tượng của toán học là điều đương nhiên, do cả hai đều sinh ra từ đầu óc của chúng ta.

Trong quá trình nghiên cứu, tự thân các hoạt động của bộ não của các nhà Toán học tự tổ chức theo hướng xây dựng dần dần một khuôn khổ để hiểu các hiện tượng và cái khuôn khổ đó tự nhiên sẵn sàng áp dụng được cho mọi hiện tượng xuất hiện và đó cũng chính là lý lẽ nó tồn tại cùng với thế giới hiện tượng nên tất cả cái gì nó thai nghén đều phải phù hợp với thế giới này. Việc Toán học ứng dụng vào thế giới và việc chúng ta có thể hiểu được Toán học nói lên một minh chứng rằng Toán học vừa phụ thuộc thế giới hiện tượng và vừa phụ thuộc ý thức của chúng ta và đồng thời khẳng định không có thực thể nào, không có một vật gì, một khái niệm nào có thể tồn tại tự nó và bởi nó.

Sự phụ thuộc lẫn nhau đã vượt qua cái biên giới chia chẻ giữa “bên ngoài” và “bên trong”. Ngay cả trực giác toán học của các thiên tài cũng là phản ánh sự thâm nhập lẫn nhau một cách tự nhiên của ý thức và thế giới hiện tượng.

Theo nhà vật lý thiên văn Trịnh Xuân Thuận, thì những nghiên cứu gần đây của ngành sinh học thần kinh về hoạt động Toán học của não bộ cho biết những hoạt động là sự kết hợp chặt chẽ giữa 2 vùng của não đó là vùng gần với thị giác đóng vai trò kích thích trực giác Toán học và vùng gắn với ngôn ngữ có vai trò phiên dịch trực giác thành các công thức ký hiệu. Các nhà thần kinh học Canada đã nghiên cứu não của nhà bác học Einstein xác nhận rằng hai thùy đỉnh não tương ứng với thị giác và trực giác Toán học lớn hơn người bình thường đến 15%.

Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu này chưa thông báo được cách thức mà chúng ta tư duy và sáng tạo như thế nào? Và cũng còn rất lâu nữa mới có thể trả lời được tại sao các thực thể hoàn toàn trừu tượng có nguồn gốc từ trí óc nhưng lại tương thích chính xác với thế giới tự nhiên?

Có ý kiến viện dẫn đến các quan điểm của một số nhà Toán học kỳ tài như nhà Toán học Pháp Henry Poincaré, nhà Toán học Anh Roger Penrose cùng làm việc chung với nhà Vật lý nổi tiếng Stephen Hawking về lý thuyết điểm kỳ dị của vũ trụ, họ đã cùng chia sẻ quan điểm thế giới “các ý niệm của Platon”.

Platon cho rằng: có 2 cấp độ của hiện thực:

- Một hiện thực mà ta có thể nhận biết được bằng cảm giác: đó là thế giới hiện tượng (vật lý) thế giới này vô thường, phù du, hư ảo, biến dịch không lường.

- Một thế giới vĩnh hằng, bất biến: đó là thế giới của các ý niệm. Chính thế giới này là thế giới ngự trị các quan hệ Toán học và cấu trúc hình học hoàn hảo.

Nhà Toán học Roger Penrose có lần nói “Tôi hình dung rằng khi trí óc cảm nhận một ý tưởng Toán học, thì nó sẽ tiếp xúc với thế giới Platon của các khái niệm Toán học”. Như vậy, theo các quan niệm trên thế giới có thể tri giác được của các hiện tượng, chính là cái bóng của thế giới ý niệm, vĩnh hằng và bất biến.

Điểm nhìn của Phật giáo về thế giới hiện tượng là một mạng lưới “nhân-duyên-sinh” vĩ đại trôi chảy không ngừng, trong đó mọi hiện tượng đều là tương đối, có quan hệ chằng chịt, nương tựa với nhau mà tồn tại, không một yếu tố nào trong mạng lưới lại có thể tách rời ra mà tồn tại được. Bởi vậy cho nên khoa học mới khai triển được và thu được những thành công rực rỡ. Tùy theo cấp độ trí tuệ mà toán học phát hiện một số quan hệ của các hiện tượng. Mức độ phức tạp cả công thức phản ánh mức độ trí tuệ của nhà Toán học tạo ra nó.

Phật giáo không chia sẻ được cái “thế giới ý niệm Platon” vì đó là thế giới vĩnh hằng, tồn tại tự nhiên, đơn độc mà lại giao thoa chung với cái gì đó mang tính biến dịch, tạm thời, vô thường của thế giới hiện tượng. Rõ ràng cái thế giới ý niệm như thế chỉ là cái nhãn mác tinh thần mà thôi, Phật giáo cho rằng người quan sát và vật quan sát là một tổng thể không tách rời nhau. Làm thế nào một hiện thực tồn tại tự thân, độc lập với giác quan của chúng ta và các hệ thống khái niệm của chúng ta như thế còn mang một ý nghĩa gì? Làm thế nào mà các đặc trưng của hiện thực này có thể hiện ra với chúng ta mà không chịu ảnh hưởng đến sự tìm hiểu của chúng ta. Chúng ta được cấu trúc bởi môi trường xung quanh, tựa hồ như chúng ta tạo nên thế giới của chúng ta bằng cách phóng chiếu những khái niệm và những xu hướng của chúng ta. Đức Phật dạy:

“Trí tuệ chẳng có một bức tranh nào

  Bức tranh cũng chẳng có trí tuệ

  Vậy liệu người ta có thể tìm thấy một bức tranh

  Ở ngoài trí tuệ hay không”

(Kinh Avatamsaka Soutra)

Nếu không như thế thì cái thế giới “ý niệm vĩnh hằng, bất biến” đó phải nằm ngoài không gian và thời gian và nằm ngoài thế giới các hiện tượng nhưng tại sao lại là nguyên nhân của thế giới luôn luôn biến đổi không ngừng.

Tuy nhiên, dù nhìn ở góc độ nào đi nữa, chúng ta đều thấy được rằng sự thành công vĩ đại nhất của Toán học trong việc mô tả hiện thực là một điều kỳ vĩ nhất Nhà vật lý thế kỷ này Eugene Wigner đã phải tán thán “hiệu quả đến phi lý của Toán học trong việc mô tả thế giới hiện thực”.

Lịch sử phát triển Toán học có thể cho nhiều dẫn chứng về ý kiến nêu trên - ở đây chúng ta đề cập đến một nhà toán học đo đạc không gian Riemann với sự khám phá công thức về khoảng cách bằng tư duy thiên tài đầy lãng mạn.

Lược sử về nhà Toán học:

Georg Friedrich Bernhard Riemann sinh năm 1826 tại thành phố Hanover thuộc Đức, trong gia đình không khá giả lắm. Năm 14 tuổi ông đã phát minh một kiểu lịch vĩnh cửu. Năm 19 tuổi đỗ vào Đại học Gottingen học thần học - rồi một năm sau lên đại học Berlin học Toán với các nhà Toán học nổi tiếng như Jacobi, Diriclet. Ông đi lính 2 năm. Năm 1849 trở lại Gottingen làm tiến sĩ với ông thầy Friedrich Gauss - một cây đại thụ của thế giới toán học. Năm 1851 ông bảo vệ luận án tiến sĩ về đề tài: Cơ sở lý thuyết tổng quát của hàm biến phức. Công trình toán học có một tầm cao đối với tri thức nhân loại như chính Gauss ca ngợi.

Năm 1854, Riemann được bổ nhiệm giảng dạy tại chính Đại học Gottingen. Thủ tục lúc bấy giờ yêu cầu giảng viên phải đọc một công trình chưa được công bố với hội đồng khoa học trong đó có Gauss tham dự. Trong những suy nghĩ về hình học, Gauss đã suy nghĩ về độ cong và đã xác định độ cong của không gian Euchid (phẳng) là O và độ cong của mặt cầu là dương và độ cong mặt hyperbolic là âm. Việc chọn cho Riemann đọc bài nghiên cứu về hình học, Gauss đã đặt niềm tin vào người học trò xuất sắc của mình là mong chờ một sự đột phát mới trong lĩnh vực này.

Riemann đã không phụ lòng thầy của mình, Riemann đã phát triển một lý thuyết mới bởi sự nghiên cứu độc lập đối với khái niệm xây dựng của Gauss về độ cong. Bài thuyết trình này được Gauss đánh giá cao vì đã làm thay đổi diện mạo của bộ môn hình học lẫn vật lý học mãi mãi bởi vì trước đây người ta đã quan niệm rằng: không gian và thời gian chỉ là sân khấu vĩ đại để cho vật chất nhảy múa trên đó. Vào giữa thế kỷ 19, Riemann đi tiên phong trong nhận thức vai trò mà không gian tham gia tích cực vào các diễn biến của thế giới vật lý. Theo Riemann lực chính là hình học, chính là biểu hiện của sự biến dạng hình học. Ta thử hình dung một lá cây cong queo gồ ghề sẽ có tác dụng như một lực áp đặt lên một con kiến bò trên đó khiến nó không thể bò theo một đường thẳng. Chính ông đã sáng tạo ngôn ngữ toán học để diễn tả ý tưởng của mình thoát khỏi không gian Euclide và định hình loại không gian phi Euclide bằng các tenxơ metric thông qua định lý Pythagor mở rộng. Tenxơ metric diễn tả khái niệm tính cong của không gian cho bất cứ số chiều nào. Tuy nhiên, Riemann lúc bấy giờ không biết được Tenxơ metric tuân theo các phương trình nào, tức là cái gì làm cho không gian bị cong đi. Mãi cho đến nửa thế kỷ sau Einstein đã tìm thấy loại hình học mới này, một công cụ cho lý thuyết tương đối tổng quát của mình và không gian không còn đóng vai trò chứng nhân cho các diễn biến vật lý nữa. Hình học Riemann sau nửa thế kỷ ngủ bình yên thì nay đã có một bộ mặt mới gắn liền với thuyết tương đối tổng quát.

Tư tưởng đột phá của Riemann

Theo lịch sử toán học, vào thập niên 60 thế kỷ 18 có ba loại hình học: Euclid, Hyperbolic, Elliptic hay cầu và tính chất hình học của một mặt có thể thay đổi được. Ông muốn có một thuật toán nào đó mạnh hơn để xác định sự thay đổi đó.

Riemann, lúc bấy giờ là một trong những nhà toán học thuần túy xuất sắc, tư duy toán học thuần túy của ông đã thúc đẩy khát vọng tìm hiểu bản chất của không gian chung quanh mình và theo ông đó là hình học - rõ ràng ông đã đi trước một bước thuyết tương đối và vũ trụ học hiện đại. Với thiên tài toán học của mình, ông đã tổng quát hóa được khái niệm về khoảng cách còn gọi là metric đối với không gian không còn phẳng, tức không gian có độ cong bất kỳ và thậm chí độ cong còn thay đổi từ điểm này đến điểm khác trên cùng một mặt bằng công thức hàm khoảng cách.

                                                ds² = g_{mv .} dx_m . dx_v

+ m, v lấy các giá trị nguyên.

+ Số hạng g_mv thành phần cơ bản trong phương trình tenxơ của Einstein mang ý nghĩa như một metric tenxơ cho phép Einstein xác định độ cong mà trường hấp dẫn áp đặt lên không gian của vũ trụ.

Tư tưởng về khoảng cách này cho phép nghiên cứu trên một khu vực cục bộ của bất kỳ mặt cong nào và nó đã khai sinh lý thuyết toán mới là hình học vi phân trong thế kỷ 19. Những nghiên cứu tổng quát của nó liên quan đến lĩnh vực topo chuyên nghiên cứu những không gian và hàm liên tục, nghiên cứu tính tương đương thông qua việc sử dụng hàm liên tục. Về cơ bản topo nói về tính chất hình học bao phủ một bề mặt gọi là đa tạp (manyfolds).

Công trình này của Riemann đã cung cấp một công cụ trực tiếp giúp Einstein hoàn thiện phương trình về trường của thuyết tương đối tổng quát, sau một thời gian thử nghiệm những thủ thuật toán học khác nhau làm cho tenxơ metric và các yếu tố hấp dẫn ăn khớp với cái nền của thuyết tương đối đặc biệt trong không thời gian 4 chiều. Năm 1915, Einstein công bố phương trình:

                                                R_mv - g_{mv .} R = -8p G.T_mv

Trong khi giải phương trình, Einstein dùng tenxơ metric của Riemann trong không gian cong g_mv, tenxơ Ricci R, tenxơ momen năng lượng T, hằng số hấp dẫn G. Đặc biệt đã gây hứng cho nhà toán học Anh Roger Penrose nêu lên được một định lý gây kinh ngạc cho giới khoa học, trong đó ông đã sử dụng phương pháp tổng quát của topo và dựa trên thuyết tương đối tổng quát đã giải thích được vũ trụ của chúng ta phải bắt đầu thế nào?

Kỷ niệm ngày 100 năm sinh nhật của Einstein giáo sư S.S Chern nhà hình học hàng đầu thế giới đã mô tả rằng khái niệm “khoảng cách Riemann” có thể tổng quát hóa thành những khái niệm phức tạp và cao cấp hơn nữa, những khái niệm như thế chỉ được phát triển ở cuối thế kỷ 20.

Riemann trở thành phó giáo sư tại Đại học Gottingen, hai năm sau đó được ngồi vào ghế giáo sư của Gauss sau khi ông này mất. Tháng 7 năm 1886 Riemann mất vì bệnh lao phổi do làm việc quá sức, lúc đó ông mới 39 tuổi, nhân loại đã mất đi một thiên tài toán học mệnh yểu.

__________________________

SÁCH THAM KHẢO

1) Phương trình thâu tóm vũ trụ.

Amir-D-Eczel, bản dịch - NXB Trẻ 2004.

2) Bản giao hưởng vũ trụ.

Brian - Greene, bản dịch - NXB Trẻ 2004.

3) Cái vô hạn trong lòng bàn tay.

Trịnh Xuân Thuận - Mathieu Ricard - NXB Trẻ 2005.

* Tác giả:Đặng Công Hanh, Khoa trưởng khoa học cơ bản Đại học Kiến trúc